Tutti gli studenti al quinto anno di scuola superiore si sono trovati di fronte a dei voti espressi in quindicesimi.
Le tre prove scritte dell’esame di maturità vengono infatti valutate in 15esimi, rispetto all’abituale scala decimale cui siamo abituati.
Proprio la conversione tra decimi e quindicesimi è oggetto di un test di logica valido per l’ammissione all’università e uno studente mi ha scritto per aiutarlo a risolvere questo problema.
L’unica soluzione sarebbe quella di rifarsi cinque anni di scuola superiore o come minimo il terzo anno quando solitamente si affronta la geometria analitica nel corso di matematica. In questo caso infatti non valgono più le proporzioni che si fanno alla scuola media e si rinfrescano in prima superiore.
Vediamo il quesito:
In una prova uno studente ha ottenuto il voto 7 decimi. Si vuole esprimere questa valutazione in quindicesimi, utilizzando il criterio suggerito dalla figura.
Se p è il voto in quindicesimi che corrisponde a 7 decimi, allora:
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11 < p < 11,1
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11,1 < p < 11,2
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11,2 < p < 11,3
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11,3 < p < 11,4
Il metodo della PROPORZIONE ci porta sulla strada SBAGLIATA.
Provare per credere:
7 : 10 = p : 15
p = (15*7)/10 = 10,5 NO!!!!
Nessuna delle possibili risposte elencate corrisponde a quello che abbiamo trovato con la proporzione, soluzione che infatti è SBAGLIATA.
Dobbiamo infatti notare che la scala decimale non cresce alla stessa velocità di quella in quindicesimi. Osservando la retta infatti notiamo che la sua pendenza non è tipicamente a 45° e questo dovrebbe farci capire che c’è qualcosa di differente rispetto ad una proporzionalità costante tra le due scale.
La retta infatti è più inclinata rispetto all’asse delle x in confronto ad una retta a 45° e questo significa che con un tratto orizzontale lungo x si sale in altezza di qualcosa più di x, potremmo dire che si sale di x + ∂.
“Sembra tutto molto complicato!” Sì, ma non lo è.
Anziché applicare la proporzione, usiamo le formule di geometria analitica e calcoliamoci la pendenza di questa retta.
La pendenza, ovvero la m della retta, è uguale a
m = (y2-y1)/(x2-x1)
m = (15-10)/(10-6) = 5/4
Questo ci conferma che la pendenza non è pari a 1, ovvero che la retta non è inclinata di 45° (in senso antiorario rispetto al semiasse positivo delle ascisse), ma che è leggermente più inclinata perché il rapporto 5/4 > 1
Individuata la pendenza della retta possiamo capire a che altezza si trova il nostro voto “p” espresso in quindicesimi e che corrisponde a 7 in votazione decimale.
Sappiamo infatti la pendenza della retta e conosciamo la distanza orizzontale o meglio conosciamo che un punto appartenente alla retta è quello individuato dalla coordinata (6; 10) e vogliamo sapere la coordinata y del punto di ascissa 7, ovvero (7; y).
Come individuiamo questa y? Sappiamo per prima cosa che l’ordinata y del punto di ascissa 6 appartenente alla retta è 10 e che la retta sale con pendenza 5/4.
I geometri che sono soliti lavorare con le curve di livello possono ricordarsi questa cosa.
La distanza (orizzontale) tra il punto 7 e il punto 6 è 1, quindi la domanda che dobbiamo porci è
Quanto sale in ordinata una retta con pendenza 5/4 in un tratto di ascissa pari a 1?
Moltiplichiamo la pendenza per la distanza e conosciamo l’altezza:
5/4 * 1 = 5/4
La retta sale di 5/4 rispetto al punto (6; 10) quindi la sua altezza totale è pari a 10 + 5/4 = 11,25
La risposta esatta quindi è la C con 11,2 < p < 11,3 perché il punto p = 11,25
(che è compreso nell’intervallo individuato dalla risposta C)
La pendenza è uguale al rapporto fra dislivello e intervallo
ovvero p = ∂ /i
cioè la pendenza di un tratto è pari a quanto sale in altezza fratto quanti metri lineari orizzontali impiega per salire.
Da questa formula è semplice capire che una volta conosciuta la pendenza e il tratto orizzontale è possibile anche ricavare il ∂ ovvero il dislivello.
La pendenza della retta è sempre
p = 5/4
Sapendo che la pendenza è 5/4 e il tratto orizzontale è di 1 possiamo calcolare che il dislivello è pari a
∂ = 5/4 * 1 = 5/4
che aggiunto alla quota iniziale del punto (6;10) che è pari a 10, cioè la coordinate che rappresenta la y, anche in questo caso risulta che il voto p espresso in quindicesimi equivale a 11,25 e che quindi la risposta esatta è la C, cioè l’intervallo compreso tra 11,2 < p < 11,3
