La piccola Aurelia sta giocando con 985 tessere di legno colorato, tutte a forma di triangolo equilatero e aventi le stesse dimensioni. Ha costruito con esse, affiancandole, il triangolo equilatero più grande possibile; quante tessere sono avanzate ad Aurelia?
- A) 24
- B) 25
- C) 23
- D) 31
- E) 26
Come si risolve questo quesito logico?
Provando ad assemblare un triangolo equilatero formato da altri triangoli equilateri notiamo subito che la forma equilatera si mantiene solamente quando ciascuna riga (orizzontale) è costituita da un numero dispari di triangoli equilateri più piccoli.
Proviamo nel caso con 3 triangoli equilateri alla base. La prima riga è formata, appunti, da 3 triangoli e la forma equilatera si mantiene disponendo sulla sommità 1 triangolo equilatero. Anche la seconda riga è quindi costituita da un numero dispari di triangoli equilateri.
Stessa cosa con 5 triangoli equilateri alla base. La seconda riga sarà composta da 3 e la terza da 1.
Si potrebbe continuare all’infinito o fino alla soluzione dell’esercizio. Ma anziché una soluzione grafica, cerchiamone una analitica e matematica.
Le singole righe costituenti il triangolo equilatero più grande sono formate da un numero dispari di triangoli, come abbiamo già detto.
La somma totale dei triangoli utilizzati è quindi una somma di numeri dispari o meglio una somma di N numeri dispari.
S(1) = 1 triangolo usato
S(2) = 3 + 1 = 4 triangoli totali
S(3) = 5 + 3 + 1 = 9 triangoli usati
e così via….
Possiamo quindi generalizzare con la sommatoria di n numeri dispari ∑i n di (2n – 1)
Ricordando le serie numeriche si può dimostrare che la sommatoria di N numeri dispari è pari a n^2, ovvero il quadrato del numero di numeri primi che sommiamo.
Possiamo verificare la validità del ragionamento in:
S(1) — > 1^ 2 = 1 come precedentemente visto [1 solo triangolo equilatero]
S(2) —> 2 ^ 2 = 4 che corrisponde a quanto calcolato prima manualmente aiutandoci con il disegno [3 triangoli equilateri alla base]
S (3) —> 3^2 = 9 che corrisponde a quanto calcolato prima manualmente aiutandoci con il disegno [5 triangoli equilateri alla base]
Ciò significa che se vogliamo capire quante tessere avanzano alla piccola Aurelia, è necessario trovare il numero n^2 che più si avvicini al numero di tessere che la bambina possiede. Un numero n^2 che sia ovviamente inferiore al numero di tessere possedute che è di 985.
n^2 non è un numero qualsiasi ma è un quadrato, quindi possiamo operare andando alla ricerca del quadrato perfetto più prossimo a 985 (perché il numero di righe in cui la bambina dispone i triangoli è ovviamente un numero intero positivo, cioè un numero naturale)
Possiamo quindi operare nel seguente modo:
-
calcolare la radice quadrata di 985 e approssimare per difetto al numero intero più vicino ottenendo quindi √(985) = 31,3847…. e quindi 31
-
calcolare con la formula sopra trovata la somma dei primi 31 numeri primi cioè S(31) = 31^2 = 961
-
calcolare la differenza tra 985 e 961 che è 24
Ecco il risultato: alla piccola Aurelia avanzeranno ben 24 tessere.
La risposta corretta è la A.
